作者：Anders Kock（安德烈亚斯·科克，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30
译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3
弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末至今最有影响力的人物之一，因为他通过改进范畴论工具来统一和简化数学。本文尝试描述这一过程中的一些里程碑和愿景。
1 连续统物理（Continuum physics，即连续介质物理）
劳维尔出生于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的儿子。他在印第安纳大学学习物理学，很快就觉得推理需要采用更多可用的以及更明确的基础，尤其是在连续统（连续介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《理性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始人克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有类似的基础议程。劳维尔此时已经看到了范畴论方法的必要性。第一步是为了实现“范畴动力学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末实现）。关键的一步是他对函数空间形成的范畴论表述，用到了通用性（伴随函子 adjoint functor）：笛卡尔闭范畴（Cartesian closed categories）。
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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月
特拉斯德尔私下联系了艾伦伯格，以促使劳维尔作为艾伦伯格的博士生进入哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，当时劳维尔去了加利福尼亚，从专家塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等那里学习更多的集合论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）关于代数理论的函子语义学的博士论文，其中特别是代数理论的概念是以无表示的方式给出的。
2 集合的范畴
对于劳维尔本人来说，他寻找可用和可教的数学基础的转折点，是1963-64年在俄勒冈州里德学院担任助理教授。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的众多采访中[2]，劳维尔说：
在里德，我被教导，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时间试图设计基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）集合论的微积分课程。然而，冷静评估之后发现，从隐藏微分和积分的累积层次结构中，定义层数太多，而无法在一年内完成这些层次。康托尔无结构集合的范畴结构似乎既简单又接近。因此，集合范畴的基本理论产生于纯粹的实际教育需要。
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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99
劳维尔的许多数学成就（概念，构造和定理）是由于努力改进微积分和工程数学教学的结果，并且这些努力导致他得出结论，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不能在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但可以根据映射的概念来表述ƒ: A → B（及其合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:
从哲学上讲，可以说这些发展支持了，即使在集合论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中长期以来所感受到的那样，这也是正确的，即数学的实质并不存在于实质中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像实质），而是存在于形式中（例如由通用映射属性定义，有影响的概念是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精确表达和有效处理这些想法的具体技术机器，是由Eilenberg-Mac Lane的范畴论，函子和自然变换理论提供。
在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在那里访问了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼成功吸引了多位范畴论学家参与。值得注意的是，单子（monad）的概念以及它与代数理论和同调性的关系被建立（见[3]）。
从苏黎世出发，可以参加在德国南部附近的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔遇到了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学方法，如SGA4中所述[1]。
3 格罗滕迪克
格罗滕迪克的工作对劳维尔后来的工作产生了根本性的影响。他们第一次见面是在尼斯的ICM（1970年国际数学家大会），他们都是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“生存”运动。
1973年，他们都来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：
我清楚地记得他辅导我代数几何的基本见解，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，询问他对一个项目的看法[...]。我最后一次见他是在1989年的同一个地方（Aurelio Carboni从米兰开车送我去那里）：他显然很高兴见到我，但因为宗教誓言不说话；他在一张纸上写道，他也被禁止讨论数学，尽管很快他的数学灵魂胜利了，留给我一些珍贵的数学笔记。
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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学
4 范畴动力学和综合微分几何
在1967年的大部分时间里，劳维尔是芝加哥大学的助理教授。劳维尔在这里开始在高级讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）理论，围绕连续介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等人包括作者（当时正在劳维尔的指导下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的特别产出不是完全成熟的范畴动力学，而是它的动力学基础的想法：对于假设的 “无穷小”对象D（利用假定空间范畴的笛卡尔闭结构），具有可表示的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“动力学”（kinematic）思路的一个方面后来被一些人发展为一个成熟的“综合微分几何”（synthetic differential geometry）。
代数几何的智慧，这是范畴动力学中发展的基础，也可以引入并应用在标准光滑微分几何；劳维尔使用代数理论（在他1963年论文的意义上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的理论，至关重要的是不要求使用生成元和关系表示。
5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑
劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，已经更确信，拓扑斯不仅作为范畴动力学的背景，而且适用于集合论和逻辑的概念：布尔值模型，和力迫（如科恩Cohen 1963年关于连续统假设的工作）。在布拉加的采访中，他说：
这些显然完全不同的拓扑斯，涉及无穷小的运动和高级逻辑，可能是同一个简单公理理论的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的承诺。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的期间，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语表达形成相伴层（associated sheaf）的运算问题的结果，以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。
这次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学获得了著名的基拉姆教授职位，当时被允许邀请十几个合作者（其中包括蒂尔尼），同样得到基拉姆的支持。这意味着在1969年至1971年期间，达尔豪斯成为一个热闹的地方；特别是在数学上，初等拓扑斯的概念在这里逐渐明确结晶。值得注意的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版本（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才正式出版）。
然而，在1971年，达尔豪西的梦之队被解散了；大学行政部门拒绝与劳维尔续约合同，因为他的政治活动抗议越南战争和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危险为借口暂停民事自由。（但在1995年，达尔豪斯主办了活动庆祝范畴论50年，劳维尔有参与）
劳维尔在1971年逗留哈利法克斯前夕组织的一次会议，有重要的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，这次会议的论文集发表于1972年[6].
1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座教授（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座教授（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯理论的新见解，得到巩固和更广泛传播。另外，1973年劳维尔最后定居在布法罗（美国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲朋友和合作者保持密切联系；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。
我们在哈利法克斯和后来学习的拓扑斯特别是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的区分。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯范畴的一种输入，即在它们的函子相互关系中的拓扑斯。这些研究是由许多研究人员开发的，并记录在许多数学专著、文章和会议中（有或没有会议程序）。劳维尔非常积极地参与会议，经常作为特邀主讲人；他对获得他的想法的财富以及愿景以书面形式写下来不太积极。例如，他1967年在芝加哥关于范畴动力学的开创性演讲，直到1978年才以书面形式在奥胡斯举行的持续“开放日”夏季会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯理论方法”[5]。
1982年，劳维尔（与他在布法罗的同事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔一起）在布法罗组织了一次会议，“连续介质物理学中的范畴”，连续介质物理学的许多主要研究人员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议记录中的三篇文章 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。
劳维尔于1977年在达勒姆重要的大型夏季会议的科学指导委员会中，其“层的应用” [4]，标志着在数学和物理理论概念化中利用相对简单的主题的突破。劳维尔在达勒姆做了一个关于“热力学基础中的范畴”的演讲，然而，我无法找到书面记录。另一方面，确实有关于劳维尔在这次会议上的演讲（有热烈的辩论）的记录，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学哲学和发展的看法。我把它包括在内，因为如果没有反映他的政治/哲学生活和工作中不妥协的性格，那么劳维尔的讣告是不完整的：
在这场达勒姆辩论中，劳维尔在演讲开始时说（根据我的笔记和记忆）：
数学是研究空间形式和数量关系的科学。数学的目的是什么？其目的是澄清这种关系，以便作为人们团结起来解决生产斗争中的问题（不是数学问题）以及这种斗争的认真性（即科学实验）的基础。
在演讲的早期阶段，已经出现了一位观众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“生产的目的是什么？” 劳维尔想了好一会儿才回答：“带你来这里！”
在演讲的后期，劳维尔说：
数学逻辑的目的；澄清和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的方式：还有一个反目的：模糊、复杂化和阻止数学的学习、使用和发展。特别是，通过促进来冻结发展：考虑强迫一切都进入一个先入为主的框架[...]。这两个目的在我们每个人的内心都在相互斗争。[...]通常，反目的胜过目的。这是因为反目的符合统治阶级的利益。这是过去100年来发生了巨大变化的事情。垄断资产阶级的利益反对生产力的发展。
6 公理内聚
这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和哲学工作的所有方面完整综述的地方。再提供一些关键词：概率、范畴逻辑、指标/纤维范畴、度量空间作为充实后的范畴，语言学，广泛与密集数量，物理量范畴，格拉斯曼，公理内聚。
正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。
以下是2007年出版物的引用：
需要明确的内聚科学来解释动力学数学理论的各种背景模型。这样的科学需要有足够的表现力，来解释这些背景与其他数学范畴有何不同，以及彼此之间也不同，但又如此团结，以至于它们可以相互转化。这种相互转变的日常例子是天气预报员从有限元方法（可以看作是组合拓扑斯中的分析）到连续介质热力学方程（可以看作是光滑函数和分布所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。
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F. W. 劳维尔与作者在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天
这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p! ⊣ p^* ⊣ p_* ⊣ p^! ,字符串中的每个字符串都与下一个字符串左伴随。此类字符串的示例 在拓扑中很熟悉：
p! 将某空间的连接组件的集合关联到（充分好的）该空间，p^* 将集合上的离散空间结构关联到该集合，P_* 将其点集关联到该空间，最后P^! 将集合上的协离散空间结构关联到该集合。在拓扑斯范畴中，这种字符串的属性构成了上述引文中要求的诸多差别。
劳维尔提出的许多想法中只有一部分已经写出来，更不用说发表、成形，但只以种子的形式存在于身边人的思想和笔记中。
也许，未来硕果累累的植物将从这些种子中长出来。如果种子更容易获得，种子的发芽将得到加强。一些建立此类档案的活动正在开展，特别是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere
关于作者：
安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉教授。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔指导下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的开放日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了许多范畴理论会议和研讨会。他是几本书的作者，如《Synthetic Differential Geometry 综合微分几何》（剑桥大学出版社，1981年，2006年第2版）和《流形的综合几何》（剑桥大学出版社，2010年）。
参考资料
[1] M. Artin, A. Grothendieck and J. L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269, Springer, Berlin (1972)
[2] M. M. Clemetino and J. Picado, Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)
[3] B. Eckmann (ed.), Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80, Springer, Berlin (1969)
[4] M. P. Fourman, C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds), Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic, algebra and analysis (Durham 1977), Lecture Notes in Math. 753, Springer, Berlin (1979)
[5] A. Kock (ed.), Topos theoretic methods in geometry, Various Publications Series 30, Aarhus University, Aarhus (1979)
[6] F. W. Lawvere (ed.), Toposes, algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274, Springer, Berlin (1972)
[7] F. W. Lawvere, Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19, no. 3, 41–49 (2007)
[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.), Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174, Springer, Berlin (1986)
[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel, Conceptual mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)
[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143
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